Question

一道初中数学题，求详解↓

在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,并延长DE至F,使EF=DE,连接BF,CF,AC（1）求证：四边形ABFC是平行四边形 （2）如果DE²=BE×CE，求证：四边形ABFC是矩形。 求详解，特别是第二问。
图

Answer 1

DE^2=BE*CE，所以角BDC=90，即角BAC=90.。又因为四边形ABFC为平行四边形。所以其为在此条件下为矩形。

Answer 2

（1）证明：由已知梯形ABCD是等腰梯形，两腰和对角线相等，即AB=CD,AC=BD。因为DE⊥BC，
EF=DE，所以BC垂直平分DF,则有BD=BF，CD=CF，等量代换得：AB=CF，AC=BF，所以四边形ABFC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
（2）证明：在三角形BDC中，因为DE²=BE×CE，即DE：BE=CE：DE，可以得直角三角形BED相似直角三角形DEC,则有角DBE=角CDE，由于角DBE+角BDE=90度，所以角CDE+角BDE=90度，即角BDC=90度，又因为角BAC=角BDC，所以角BAC=90度，所以四边形ABFC是矩形（有一角是直角的平行四边形是矩形）。

Answer 3

因为DF垂直于BC，DE=EF,所以三角形DEC全等于三角形FEC，所以CD=CF,所以AB=CF,角DCB=角ABC=角BCF，所以AB平行于CF，所以四边形ABFC是平行四边形。
因为DE=EF,DE²=BE×CE,所以DE×EF=BE×CE,所以DE/BE=CE/EF，∠DEC=∠BEF,所以三角形DEC相似于三角形BEF,所以∠DCE=∠EFB,∠EFB+∠EBF=90度,∠DCE=∠BCF,所以∠EBF+∠BCF=90度,所以，平行四边形ABFC是矩形。

Answer 4

1、由DE⊥BC，EF=DE，EC=EC-----三角形全等------CF=DC，角BCF=角BCD；由AB=DC------角BCD=角ABC。所以，角BCF=角ABC---AB‖FC，CF=AB，-----------四边形ABFC是平行四边形
2、由DE²=BE×CE，EF=DE-----------FE²=BE×CE；
由FE²=BE×CE，角EFC=角EFC-------三角形EFC相似于三角形EFB-------角EFC=角EBF；
由DE⊥BC---- 角EFC+角ECF=90度，又角EFC=角EBF，故角EBF+角ECF=90度----角BFC=90度
由1结论：四边形ABFC是平行四边形，且角BFC=90度----------四边形ABFC是矩形

Answer 5

(1) 因为EF=DE ∠DEC=∠CEF=90° CE 是公共边 所以DC=CF=AB ∠DCE=FCE 又因为在梯形中AB=DC 所以∠ABC=∠DCE 所以∠ABC=∠BCF 综上 四边形ABFC 为平行四边形
（2）连接BD 因为DE²=BE*CE 所以△BDC 为直角三角形，∠BDC=90° 由（1）中的条件DC=CF ∠DCB=∠FCB 及BC=BC 可得出△BDC≡△BFC 所以∠BFC=90° 四边形ABFC为 矩形