一道初中数学题,求详解↓
在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,并延长DE至F,使EF=DE,连接BF,CF,AC(1)求证:四边形ABFC是平行四边形(2)如果...
在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,并延长DE至F,使EF=DE,连接BF,CF,AC(1)求证:四边形ABFC是平行四边形 (2)如果DE²=BE×CE,求证:四边形ABFC是矩形。 求详解,特别是第二问。
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(1)证明:由已知梯形ABCD是等腰梯形,两腰和对角线相等,即AB=CD,AC=BD。因为DE⊥BC,模桥
EF=DE,所以BC垂直平分DF,则有BD=BF,CD=CF,等量代换得:AB=CF,AC=BF,所以四边形ABFC是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)。
(2)证明:在三角形BDC中,因为DE²=BE×CE,即DE:BE=CE:DE,可以得直角三角形BED相似直角三角形DEC,则有角DBE=角CDE,由于角DBE+角BDE=90度,春伏所以角CDE+角BDE=90度,即角BDC=90度旦森猛,又因为角BAC=角BDC,所以角BAC=90度,所以四边形ABFC是矩形(有一角是直角的平行四边形是矩形)。
EF=DE,所以BC垂直平分DF,则有BD=BF,CD=CF,等量代换得:AB=CF,AC=BF,所以四边形ABFC是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)。
(2)证明:在三角形BDC中,因为DE²=BE×CE,即DE:BE=CE:DE,可以得直角三角形BED相似直角三角形DEC,则有角DBE=角CDE,由于角DBE+角BDE=90度,春伏所以角CDE+角BDE=90度,即角BDC=90度旦森猛,又因为角BAC=角BDC,所以角BAC=90度,所以四边形ABFC是矩形(有一角是直角的平行四边形是矩形)。
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因为DF垂直于BC,DE=EF,所以三角形DEC全等于三角形FEC,所以CD=CF,所以AB=CF,角DCB=角ABC=角BCF,所以AB平行于CF,所以四边形ABFC是平行四边形。
因为DE=EF,DE²=BE×CE,所以DE×EF=BE×CE,所以DE/BE=CE/EF,∠DEC=∠BEF,所以三角形毕饥DEC相似于三角形BEF,所以∠DCE=∠EFB,∠EFB+∠EBF=90度,∠DCE=∠BCF,所以∠EBF+∠手基返BCF=90度,所以,平行四边形ABFC是矩形锋睁。
因为DE=EF,DE²=BE×CE,所以DE×EF=BE×CE,所以DE/BE=CE/EF,∠DEC=∠BEF,所以三角形毕饥DEC相似于三角形BEF,所以∠DCE=∠EFB,∠EFB+∠EBF=90度,∠DCE=∠BCF,所以∠EBF+∠手基返BCF=90度,所以,平行四边形ABFC是矩形锋睁。
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1、由DE⊥BC,EF=DE,EC=EC-----三角形全等------CF=DC,角BCF=角BCD;由AB=DC------角BCD=角ABC。所谨察岩罩以,角BCF=角ABC---AB‖FC,CF=AB,-----------四边形ABFC是平行四边形
2、由DE²=BE×CE,EF=DE-----------FE²=BE×CE;
由FE²=BE×CE,角EFC=角EFC-------三角形EFC相似于三角形EFB-------角EFC=角祥枣茄EBF;
由DE⊥BC---- 角EFC+角ECF=90度,又角EFC=角EBF,故角EBF+角ECF=90度----角BFC=90度
由1结论:四边形ABFC是平行四边形,且角BFC=90度----------四边形ABFC是矩形
2、由DE²=BE×CE,EF=DE-----------FE²=BE×CE;
由FE²=BE×CE,角EFC=角EFC-------三角形EFC相似于三角形EFB-------角EFC=角祥枣茄EBF;
由DE⊥BC---- 角EFC+角ECF=90度,又角EFC=角EBF,故角EBF+角ECF=90度----角BFC=90度
由1结论:四边形ABFC是平行四边形,且角BFC=90度----------四边形ABFC是矩形
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(1) 因为EF=DE ∠DEC=∠链盯绝CEF=90° CE 是公棚姿共边 所以DC=CF=AB ∠DCE=FCE 又因为在梯形中AB=DC 所则运以∠ABC=∠DCE 所以∠ABC=∠BCF 综上 四边形ABFC 为平行四边形
(2)连接BD 因为DE²=BE*CE 所以△BDC 为直角三角形,∠BDC=90° 由(1)中的条件DC=CF ∠DCB=∠FCB 及BC=BC 可得出△BDC≡△BFC 所以∠BFC=90° 四边形ABFC为 矩形
(2)连接BD 因为DE²=BE*CE 所以△BDC 为直角三角形,∠BDC=90° 由(1)中的条件DC=CF ∠DCB=∠FCB 及BC=BC 可得出△BDC≡△BFC 所以∠BFC=90° 四边形ABFC为 矩形
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