Question

如图 ，己知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点M为直线BC上一动点，△

DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN随之整体移动）。（1）如图1,当M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？（过程）(2)如图2，当点M在BC上时，其他条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否依然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，
（2）成立．
方法一：连接DE，DF．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线、
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°

又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE．
方法二：
延长EN，则EN过点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC

又∵D，E，F是三边的中点，
∴EF=DF=BF
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN
又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN
∴BM=FN
∵BF=EF，∴MF=EN．
方法三：
连接DF，NF
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF为三角形的中位线，
∴DF= 12AC= 12AB=DB
又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN，∠BDM=∠NDF，
∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN．

如果答案对您有帮助，真诚希望您的采纳和好评哦！！
祝：学习进步哦！！
*^_^* *^_^*