Question

如图,已知点P是正方形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF⊥DP,交AB于点E,交CD与点G，交BC的延长线于点F

，连接DF （1）若DF=3√2，求DP的长 （2）求证：AE=CF

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD是正方形，∴∠DCP＝45、CD⊥CF，又DP⊥PF，∴D、P、C、F共圆，
∴∠DFP＝∠DCP＝45。
∵DP⊥PF、∠DFP＝45，∴∠FDP＝45，∴DP＝DF/√2＝3√2/√2＝3。

第二个问题：
∵ABCD是正方形，∴AE⊥AD，又PE⊥PD，∴A、E、P、D共圆，∴∠ADE＝∠APE。
∵D、P、C、F共圆，∴∠CDF＝∠CPF。
显然有：∠APE＝∠CPF，∴∠ADE＝∠CDF。
∵ABCD是正方形，∴DA＝DC、∠DAE＝∠DCF＝90，又∠ADE＝∠CDF，∴△DAE≌△CDF，
∴AE＝CF。

Answer 2

∵EF⊥DP
∴∠DPF=90°
∵∠DCF=90°
∴PCFD为四点共圆
∠PDC=∠PFC
∠CPF=∠CDF
∵∠ACB=∠CPF+∠PFC=45°
∴∠PDF=∠PDC+∠CDF=∠CPF+∠PFC=45°
∵∠DFP=90°-∠PDF=45°
∴△DPF是直角等腰三角形
即：DP=PF
（2）作PK⊥BC交BC于K
在△CDP中
DP=√（CD^2+CP^2-2*CD*CP*Cos45°） （余弦定理）
=√（9+2-2*3*√2*Cos45°）
=√5
△CPK是直角三角形
∵CP=√2
∴PK=CK=1
∵PF=DP=√5
∴KF=2
∵CF=KF-CK=1
∴BF=BC+CF=4
∵KF/BF=PK/BE
∴BE=BF*PK/KF=4*1/2=2
即：AE=AB-BE=1