Question

一道数学证明题目

如图,在四边形ABCD中,角DAB=∠DCB=90°,对角线AC与BD相交于点O，M,N分别是边BD，AC的中点
求证 MN垂直于AC

Answer 1

连接AM,CM
∵∠DAB=∠BCD=90°
M是边BD的中点
∴AM=½BD,CM=½BD
∴AM=CM
∵N是边AC的中点
∴MN⊥AC

追问

为什么AM=1/2BD

CM=1/2BD

追答

理由是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 2

法一：在四边形ABCD中,角DAB=∠DCB=90°,

ABCD四点公圆且BD是直径

M.N是中点

N是圆心，M是弦的中点

根据垂径定理；MN⊥AC

法2：在四边形ABCD中,角DAB=∠DCB=90°,M,N分别是边BD，AC的中点

所以AM=CM

然后通过三角形AMN CMN全等可以证明你要的结论

Answer 3

证明：连接：MA、MC，
根据题意：MA、MC分别是直角三角形DAB和直角三角形DCB的斜边BD的中线，
所以：MA=MC，又因为N是AC的中点，所以：MN⊥AC。

Answer 4

链接AM,CM,证三角形AMN和CMN全等（利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），因为C.N.A在一条直线上，角MNC=90度，所以垂直