Question

已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0),它的一个顶点为B(0.3),过点P(0,-1)的直线l交椭圆C于M、N两点

(1）求|PM|的最大值，并写出此时M点的坐标
（2）在坐标平面内能否存在定点T，使得关于任意的直线l都有MT⊥NT成立？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，阐明理由

求解，谢谢！

Answer 1

已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F(3,0)；它的一个顶点为B(0.3)；过点P(0,-1)的直线L交椭圆C于M、N两点。(1）。求|PM|的最大值，并写出此时M点的坐标；（2）。在坐标平面内能否存在定点T，使得关于任意的直线L都有MT⊥NT成立？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，阐明理由
解：(1)。已知c=3；b=3，故a²=b²+c²=18，a=3√2；于是的椭圆方程为x²/18+y²/9=1.
把椭圆方程写成参数形式：x=3(√2)cost，y=3sint.
设M点的坐标为(3(√2)cost，3sint)，那么：
∣PM∣=√[18cos²t+(3sint+1)²]=√[18cos²t+9sin²t+6sint+1]
=√[9cos²t+6sint+10]=√[9(1-sin²t)+6sint+10]=√[-9sin²t+6sint+19]
=√[-9(sint-1/3)²+20]≦√20=2√5.
即当sint=1/3时∣PM∣获得最大值2√5；此时M点的坐标为(4，1).
(2)。设过P(0，-1)的直线L的方程为y=kx-1；代入椭圆方程得9x²+18(kx-1)²-162=0
展开化简得(9+18k²)x²-36kx-144=0
设M(x₁，y₁)；N(x₂，y₂)；则：
x₁+x₂=36k/(9+18k²)=4k/(1+2k²)
x₁x₂=-144/(9+18k²)=-16/(1+2k²)
y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2=4k²/(1+2k²)-2=-2/(1+2k²)
y₁y₂=(kx₁-1)(kx₂-1)=k²x₁x₂-k(x₁+x₂)+1=-16k²/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1=(1-18k²)/(1+2k²)
设点T的坐标为(m，n)，由于MT⊥NT，故MT•NT=0。
其中MT=(m-x₁，n-y₁)；NT=(m-x₂，n-y₂)。
MT•NT=(m-x₁)(m-x₂)+(n-y₁)(n-y₂)
=m²-m(x₁+x₂)+x₁x₂+n²-n(y₁+y₂)+y₁y₂
=m²-4mk/(1+2k²)-16/(1+2k²)+n²+2n/(1+2k²)+(1-18k²)/(1+2k²)
=m²+n²+(2n-4mk-18k²-15)/(1+2k²)
=[(m²+n²)(1+2k²)+2n-4mk-18k²-15]/(1+2k²)...........(1)
由(1)可见：当m=0，n=3时，代入(1)式得：
MT•NT=(9+18k²+6-18k²-15)/(1+2k²)≡0
即存在定点M(0，3)使得关于任意的直线L都有MT⊥NT成立.
实际上,M就是椭圆的上顶点。

Answer 2

b = 3, c = 3, a = 3根号（2）
椭圆方程x^2/18 + y^2/9 = 1
过P点直线方程y = k(x+1)
M,N坐标满足x^2/18 + k^2 (x+1)^2 / 9 = 1