Question

如图，△ABC是边长为4厘米的等边三角形，现有两动点P、Q，其中点P从顶点A出发，沿射线AB的方向

运动，点Q从顶点B同时出发，沿射线BC的方向运动，且它们的速度都为1厘米/秒，经过A、Q的直线与经过C、P的直线交于点M。（1）当点P在线段AB上运动动时，设运动时间为t秒。1 当t=秒时，△PBQ是等边三角形2求证：△ABQ≌△CAP（2）试探索：在点P、Q运动的过程中，角CMQ是否会发生变化？若会变化，清说明理由：若不会变化，求出它的度数

Answer 1

1）设时间为t,则相遇时t+2t=AC+AB+BC=12 t=42)当APQ为等边三角形时，一定是相遇过後才可能，假设相遇後经过时间t为等边三角形，则在三角形PQ中 PQ=QC平方+PC平方-2PC×QCcos120度 此时QC=2t PC=t 解的PQ=7t平方而在三角形AQC中 AQ平方=QC平方+AC平方-2QC×AC×cos60度 其中AQ=PQ AC=4 QC=2t 代入方程 解的 7t平方=4t平方+16-2×2t×4×cos60度 的3t平方-8t-16=0 解的t=4/3或t=-4 此时T=t+4=4又4/3 3）画图易得 AQ=2AP 又角PAQ=60度，由对边=斜边一半 得AQP=90