Question

如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=2，AC=BC=1，∠BCA=90°

M、N分别是AB、A1A的中点． (1)求BN的长；(2)求证：A1B⊥CM．
不要用向量的方法解，本人是文科生……

Answer 1

（1）勾股定理得到AB＝√2
三角形BAN也是直角三角形，勾股定理得到BN＝√3
（2）因为AC＝BC，M是AB中点，所以CM垂直AB
又因为AA₁⊥面ABC，CM在面ABC上，所以CM⊥AA₁
因为AA₁与AB相交于A点，且AA₁，AB属于面ABB₁A₁，所以CM⊥面ABB₁A₁
因为A₁B属于面ABB₁A₁，所以CM⊥A₁B

Answer 2

（1）有题可知，NA=1，因为AC=BC=1，∠BCA=90度，可求出AB=根号2，因为三棱柱侧棱AA1垂直底面ABC，所以，BN等于根号NA平方加AB平方，等于根号3.
（2）有题意及(1)知AA1垂直平面ABC，推出AA1垂直CM，因为三角形ABC为等腰直角三角形且M为AB中点，所以，CM垂直AB，整理即为：CM垂直AA1，CM垂直AB，所以，CM垂直面A1B1BA，因为A1B在面A1B1BA内，所以，A1B垂直CM。

Answer 3

anb直角三角形
所以an=1
在三角形acb中c是直角
ac=bc=1
所以ab=根号2
所以bn=根号3
第二问
因为在三棱柱中
a1a垂直品面acb
cm属于平面acb
所以a1a垂直于cm
因为c是90度
m为ab终点
所以cm垂直ab
所以cm垂直平面a1ab
所以cm垂直a1b