Question

当x→0时,lim[ln(1+2x)+xf(x)]/x^2=2,求lim[2+f(x)]/x 要求详细解释

为什么这样解是错的?lim[ln(1+2x)]/x^2+limf(x)/x=lim2x/x^2+limf(x)/x=lim[2+f(x)]/x=2不是有lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)吗?

Answer 1

极限可以拆开的前提是两个函数的极限都存在并且是等价的才可以

追问

如果 我分子分母同除以x 会得到lim[ln(1+2x)/x+f(x)]/x 再利用等价无穷小代换可得结论 为什么错 （答案是4）

追答

你想怎么等价？我认为答案4是错误的，或者你提供的题目是否有不对的地方？

ln(1+2x)等价于2x，直接代入原式就可以得到结果也是2的，这也是本题最快最简单的解答方法

lim [ln(1+2x)+xf(x)]/(x^2)=2
lim [2x+xf(x)]/(x^2)=2
lim [2+f(x)]/x=2

严格意义上来说，这样的解答才是正确的，因为求导的那种方法必须在f(x)可导的情况下才可以，
但本题目没有说明其是可导的。
因此，本题应该用等价无穷小的方法来解答

Answer 2

你的f(x)=?，还有，x->0吧，无论如何，把ln(1+2x)用taylor展开2x-2x^2+o(x^2),就这样