Question

数学题目，回答

28．（满分12分）已知：△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC。
（1）如图①AD⊥BC于D，若∠C =70°，∠B =30°，请你用量角器直接量出∠DAE的度数；
（2）若△ABC中，∠B=α ，∠C=β（α＜ β），根据第一问的结果大胆猜想∠DAE与α、β间的等量关系，不必说理由；
（3）如图②所示，在△ABC中AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一点，过F作FG⊥BC于G，且∠B=40°，∠C=80°，请你运用（2）中结论求出∠EFG的度数；
（4）在（3）的条件下，若F点在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的速度大小发生改变吗？说明理由。

Answer 1

解：（1）∵∠C=70°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-30°-70°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=
1
2
∠BAC=
1
2
×80°=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=40°-20°=20°；

（2）∠DAE=
1
2
β-
1
2
α，
理由是：∵∠C=β，∠B=α，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-α-β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=
1
2
∠BAC=
1
2
×（180°-α-β）=90°-
1
2
α-
1
2
β，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=180°-90°-β=90°-β，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-
1
2
α-
1
2
β-（90°-β）=
1
2
β-
1
2
α；

（3）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠DAE=
1
2
×80°-
1
2
×40°=20°，
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADE=∠FGE=90°，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠DAE=20°；

（4）∠EFG的度数大小不发生改变，
理由是：∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADE=∠FGE=90°，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠DAE=20°．

Answer 2

为了方便说明，设这个圆弧的两个端点为A,B，再任意在圆弧上取个点C
连接AB，AC，找出直线AB,AC的中点，做出AB，AC的中垂线，两中垂线的交点就是圆心