Question

证明：与任意n阶方阵乘法可交换的方阵矩阵一定是数量阵。

Answer 1

首先明确一下，楼上的方法是正解。
当然技术上可以稍加改进：
令E(i,j)为(i,j)元等于1，其它元素等于0的矩阵，比较一下E(i,j)B=BE(i,j)就可以得到B的一个必要条件，取遍i,j即得结论。

追问

为什么所取的矩阵为E(i,j)为(i,j)元等于1，其它元素等于0的矩阵？

追答

这些矩阵是由所有n阶方阵构成的线性空间的一组基
AB-BA=0又是关于A的线性方程组
所以选取适当的基可以使问题简化

Answer 2

写起来很麻烦。这是个充要条件。设n阶方阵为A=（aij)，设B=（bij)与A可交换，AB=BA,展开比较就行，会发现B的非主对角元全是0，主对角元是同样的数