Question

【紧急求助。高中数学，椭圆问题，！！！！！！！！！！】

椭圆的方程是x^/9 +y^=1,设直线l与椭圆M交与A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值？
答案上的第一步是：不妨设直线AB的方程为x=ky+m
它是怎么设的，依据是什么。
要详细解说，顺便帮忙做下这个题，
谢谢，感激不尽。

Answer 1

假设A点在下，B点在上，AC斜率为k>0——这个完全可以假设也存在！

不凡设AC斜率为k则BC斜率为-1/k，写出AC、BC方程。

联立直线方程与椭圆方程求出A、B点坐标。

△ABC面积即为AC*BC/2为k的表达式，进而求其最大值。

Answer 2

直线l与椭圆M交与A、B两点A(x1,y1) B(x2,y2)
那么当然要设直线l的方程
你设y=kx+b或者x=ky+m都可以的，我这里就用x=ky+m来做

联立：
(9+k^2)y^2+2kmy+m^2-9=0
韦达定理：y1+y2=-2km/(9+k^2) y1y2=(m^2-9)/(9+k^2)

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C(3,0)
向量AC=(3-x1,-y1) BC=(3-x2,-y2)
AC*BC=0
(3-x1)(3-x2)+y1y2=0 将x=ky+m和韦达定理代入得：
5m^2-27m+36=0
m=3或m=12/5
m=3的时候，直线就过C了，舍去
所以m=12/5

AB：x=ky+12/5
所以AB过定点D(12/5,0)
S△ABC=S△ADC+S△BDC
=1/2*(3-12/5)*|y1-y2|=3/10|y1-y2|
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2
=36*(k^2+9-m^2)/(9+k^2)^2 k^2+9-m^2=t t>=9-m^2
=36*t/(t+m^2)^2
=36/(t+m^4/t+2m^2)
<=36/(4m^2)=9/m^2
所以|y1-y2|的最大值是3/m
最小值取得的时候是t=m^2，也就是k^2=2m^2-9=63/25
S△ABC=3/10|y1-y2|<=3/10*3/m=9/10m=3/8
所以最大值是3/8

或者说做完了之后发现，要用的绝大部分是y的关系，所以设x=ky+m
这在做题前凭直觉和经验吧，但是设y=kx+b应该也能做出来

追问

y=kx+b和x=ky+m，其实就是一个概念是吧

追答

这都是设直线方程，不同就是联立后是消x还是消y
这其中计算量肯定有不同的，你不妨试一下这两种方法，积累经验是解题的法宝

Answer 3

路过