Question

如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是

如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AD ∥ BC， ∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD， 又∵EA=ED， ∴∠EAD=∠EDA， ∴∠DEC=∠AEB， 又∵EB=EC， ∴△DEC≌△AEB， ∴AB=CD， ∴梯形ABCD是等腰梯形． （2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形． 证明：∵AD ∥ BC，BE=EC=AD， ∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形． ∴AB ∥ . ED， ∵AB⊥AC， ∴AE=BE=EC， ∴平行四边形AECD是菱形． 过A作AG⊥BE于点G， ∵AE=BE=AB=2， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠AEB=60°， ∴AG= 3 ， ∴S 菱形AECD =EC?AG=2× 3 =2 3 ．