Question

已知二次函数的图象的顶点坐标是（1，-3），且经过点P（2，0），求这个函数的解析式

已知二次函数的图象的顶点坐标是（1，-3），且经过点P（2，0），求这个函数的解析式．

Answer 1

法一：设所求函数的解析式为y=ax 2 +bx+c（a≠0）， 由题意知 a+b+c=-3 4a+2b+c=0 - b 2a =1 ，解得 a=3 b=-6 c=0 ． ∴函数的解析式为y=3x 2 -6x． 法二：设所求函数的解析式为y=a（x+h） 2 +k（a≠0）， 则顶点坐标为（-h，k），已知顶点坐标是（1，-3）， ∴h=-1，k=-3， 即所求的二次函数解析式为y=a（x-1） 2 -3． 又∵图象经过点P（2，0），∴0=a×（2-1） 2 -3， ∴a=3． ∴函数的解析式为y=3（x-1） 2 -3，即y=3x 2 -6x． 法三：设所求函数的解析式为y=a（x-x 1 ）（x-x 2 ）（a≠0）， 其中x 1 、x 2 是抛物线与x轴的两交点的横坐标． 已知抛物线与x轴的一个交点为P（2，0），对称轴是直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（0，0）， ∴x 1 =0，x 2 =2． ∴所求的解析式为y=a（x-0）（x-2）． 又∵顶点为（1，-3），∴-3=a×1×（1-2），∴a=3． ∴函数的解析式为y=3x 2 -6x．