Question

△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件:(1)a...

△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件:(1)a、b、c成等差数列;(2)a、b、c成等比数列，现给出三个结论: (1)0＜B≤π3; (2)acos2C2+ccos2A2=3b2; (3)1＜1+sin2BcosB+sinB≤2. 请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之. (I)组建的命题为:已知 a、b、c成等差数列a、b、c成等差数列 求证:①0＜B≤π30＜B≤π3 ②acos2C2+ccos2A2=3b2;acos2C2+ccos2A2=3b2; (II)证明:

Answer 1

解答:解:(I)可以组建命题:△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证:①0＜B≤
π
3
②acos2
C
2
+ccos2
A
2
=
3b
2
;
(II)①∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，
∴b=
a+c
2
cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-(
a+c
2
)2
2ac
=
3(a2+c2)-2ac
8ac
≥
6ac-2ac
8ac
=
1
2
且B∈(0，π)，∴0＜B≤
π
3
②acos2
C
2
+ccos2
A
2
=a
1+cosC
2
+c
1+cosA
2
=
a+c
2
+
acosC+ccosA
2
=
a+c
2
+
b
2
=
3b
2
故答案为:a、b、c成等差数列，0＜B≤
π
3
，acos2
C
2
+ccos2
A
2
=
3b
2
.