Question

（2013?和平区一模）如图，在直三棱柱ABC-A1BlC1中，AC=BC=2，∠ACB=90°．AA1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求

（2013?和平区一模）如图，在直三棱柱ABC-A1BlC1中，AC=BC=2，∠ACB=90°．AA1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD：（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

Answer 1

（I）证明：∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，∠ACB=90°，
∴CC₁⊥AC，AC⊥BC，又BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁，BC₁?平面BCC₁，
∴AC⊥BC₁．
（II）证明：如图，设CB₁∩C₁B=E，连接DE，
∵D为AB的中点，E为C₁B的中点，∴DE∥AC₁，
∵DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．
（III）解：由DE∥AC₁，∠CED为AC₁与B₁C所成的角，
在△CDE中，DE=

1

2

AC₁=

1

2

AC2+CC12

=

6

2

，
CE=

1

2

B₁C=

1

2

BC2+BB12

=

6

2

，CD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=1，
cos∠CED=

CE2+DE2?CD2

2×CE×DE

=

3 2 + 3 2 ?1

2× 6 2 × 6 2

=

2

3

，
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为

2

3

．