Question

已知，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O点作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，作PE⊥AC与点E，射线DE交B

已知，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O点作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，作PE⊥AC与点E，射线DE交BC的延长线于点F，求证：PF是⊙O的切线．

Answer 1

证明：∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，AD=BD，
∴OD∥BC，BC=2OD，
∵PE⊥OA，
∴∠PEO=90°，
在△OPE和△OAD中，

∠PEO＝∠ADO ∠POE＝∠AOD OP＝OA

，
∴△OPE≌△OAD（AAS），
∴OD=OE，
∴PD=AE，
∵OD∥CF，
∴CE=CF，
∴AC-AE=BC+BF，
AC-AE=2OD+BF
AC-AE=2（OP-PD）+BF，
∴AC-PD=2OP-2PD+BF，
∴PD=BF，
∴四边形PDBF为平行四边形，
∴PF∥DB，
∴OP⊥PF，
∴PF为⊙O的切线．