Question

已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱．（1）画出圆锥及其内接圆柱的轴截

已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱．（1）画出圆锥及其内接圆柱的轴截面；（2）求圆柱的侧面积； （3）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

解：（1）圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示．
（2）设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，
∵

r

R

＝

h?x

h

，∴r=R-

R

h

?x，
∴S=2πRx-

2πR

h

x2．
（3）由（2）知圆柱的侧面积S是关于x的二次函数：友世禅
S=-

2πR

h

x2+2πRx，
∵S的表达式中x²的系数小于0，
∴这个二次函数有最大值，
这时圆好尘柱的高x=-

2πR

?2? 2πR h

=

h

2

，
即当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最返团大．