Question

如图，三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 1 垂直于底面ABC，AA 1 = 3

如图，三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 1 垂直于底面ABC，AA 1 = 3 3 2 ，D是CB延长线上一点，且BD=BC．（1）求证：直线BC 1 ∥ 平面AB 1 D；（2）求二面角B 1 -AD-B的大小；（3）求三棱锥C 1 -ABB 1 的体积．

Answer 1

（1）∵CB ∥ C 1 B 1 ，且BD=BC=B 1 C 1 ， ∴四边形BDB 1 C 1 是平行四边形，可得BC 1 ∥ DB 1 ． 又B 1 D?平面AB 1 D，BC 1 ?平面AB 1 D， ∴直线BC 1 ∥ 平面AB 1 D （2）过B作BE⊥AD于E，连接EB 1 ∵BB 1 ⊥平面ABD，∴BE是B 1 E在平面ABD内的射影 结合BE⊥AD，可得B 1 E⊥AD， ∴∠B 1 EB是二面角B 1 -AD-B的平面角． ∵BD=BC=AB， ∴E是AD的中点，得BE是三角形ACD的中位线，所以BE= 1 2 AC= 3 2 ． 在Rt△BB 1 E中，tan∠B 1 BE= B 1 B BE = 3 2 3 3 2 = 3 ∴∠B 1 EB=60°，即二面角B 1 -AD-B的大小为60° （3）过A作AF⊥BC于F， ∵BB 1 ⊥平面ABC，BB 1 ?平面BB 1 C 1 C ∴平面BB 1 C 1 C⊥平面ABC ∵AF⊥BC，平面BB 1 C 1 C∩平面ABC=BC ∴AF⊥平面BB 1 C 1 C，即AF为点A到平面BB 1 C 1 C的距离． ∵正三角形ABC中，AF= 3 2 ×3= 3 3 2 ， ∴三棱锥C 1 -ABB 1 的体积V C1-ABB1 =V A-C1BB1 = 1 3 × 9 3 4 × 3 3 2 = 27 8 ．