Question

如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交⊙O于点B，且AC⊥DE，垂足为F，连接AD、BE，若sinA＝12，∠BED=30°

如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交⊙O于点B，且AC⊥DE，垂足为F，连接AD、BE，若sinA＝12，∠BED=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）△DCE是否是等边三角形？请说明理由；（3）若⊙O的半径R=2，试求CE的长．

Answer 1

解：（1）连接OD．
∵∠BED=30°，∴∠AOD=60°，
∵sinA＝

1

2

∴∠A=30°
∴∠A+∠AOD=90°
∴∠ADO=90°
∴AD是⊙O的切线．

（2）△DCE是等边三角形．理由如下：
∵BC为⊙O的直径且AC⊥DE．
∴

CE

＝

CD

．∴CE=CD．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC=90°，
∵∠BED=30°，
∴∠DEC=60°，
∴△DCE是等边三角形．

（3）∵⊙O的半径R=2．
∴直径BC=4
∵△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=60°
∴∠EBC=60°
在Rt△BEC中，sin∠EBC＝

CE

BC

，
∴CE=BCsin60°=4×

3

2

=2

3

．