Question

已知，如图四边形，ABCD是正方形，三角形ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF,G是CD和EF的交点，求证BF⊥DE。

Answer 1

证明：延长BF交CD于M，交DE于N，
因为 ABCD是正方形，三角形ECF是等腰直角三角形，
所以 BC=CD，角BCD=角ECF=90度，
所以 角BCF=角DCE，
又因为 BC=CD，CE=CF，
所以 三角形BCF全等于三角形DCE，
所以 角FBC=角EDC，
因为 角BCD=90度，
所以 角FBC+角FMC=90度，
因为 角FMC=角DMN，角FBC=角EDC，
所以 角DMN+角EDC=90度，
所以 角MND=90度，
所以 BF垂直于DE。

Answer 2

在△BCF和△CDE中：BC=CD CF=CE ∠BCF=∠DCE（都是90-∠DCF）
∴△BCF≌△CDE（SAS）
∴BF=DE
因此，△CDE就是△BCF，以D为旋转中心，顺时针，旋转了90° 。它具备了旋转的三要素。
根据“旋转过程中,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度”的性质，因此线段BF也绕旋转中心沿相同方向转动了90°到达DE的位置
∴BF⊥DE

Answer 3

证明：延长BF交DE于G，
∵BC=CD,∠BCF=∠BCD-∠FCD=∠ECF-∠FCD=∠DCE,CF=CE
∴△BCF≌△DCE（SAS),∴∠BFC=∠DEC
∵∠BFC+∠GFC=180°，∴∠DEC+∠GFC=180°
∵四边形内角和为360°，∴∠EGF+∠ECF=180°
∵∠ECF=90°，∴∠EGF=90°，∴BF⊥DE