Question

不明白第二张图为什么是f''uux+f''uv(-x/y^2) 为什么这样？意思是f'u依然是 u v 的函数？为甚么麻烦回答

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Answer 1

∂Z/∂x = (∂f/∂u)(∂u/∂x) + (∂f/∂v)(∂v/∂x) = (∂f/∂u)y + (∂f/∂v)/y
∂Z/∂x = (∂f/∂u)y + (∂f/∂v)/y （1）
注意：此时，(∂f/∂u) ， (∂f/∂v) 仍然是u,v 的函数。
比如与 y = y(x) = sinx y' = cosx 还是x的的函数一样！
函数对自变量求导（或求偏导）后，一般而言还是该自变量的函数。
因此 (∂f/∂u) 和 (∂f/∂v) 仍然都是u, v的函数。
(1) 式两边再对 y求偏导数：
∂²Z/∂x∂y = (∂f/∂u) + y[(∂²f/∂u²)(∂u/∂y)+(∂²f/∂u∂v)(∂v/∂y)] +
+ (-1/y²)(∂f/∂v) + (1/y)[(∂²f/∂u∂v)(∂u/∂y)+(∂²f/∂v²)(∂v/∂y)]
∂²Z/∂x∂y = (∂f/∂u) + xy(∂²f/∂u²) - (∂²f/∂u∂v)x/y
-(∂f/∂v)/y² + (∂²f/∂u∂v)x/y - (∂²f/∂v²)x/y³
= (∂f/∂u) + xy(∂²f/∂u²) - (∂f/∂v)/y² - (∂²f/∂v²)x/y³ (2)
原题提供的二阶混合偏导数的结果似有误（缺(∂f/∂v)/y 对y的偏导项）。

追问

函数对自变量求导（或求偏导）后，一般而言还是该自变量的函数。
老师 这句话能证明吗，或者我举个这样的例子， y=sinx+cosx 设 u=sinx v=cosx 那么y'u=1 那么 y'u就不是 u 和 v 这中间变量的 函数了啊？ 所以还是有点不懂

追答

y=u+v 您设计的 y 只不过是u,v的线性函数，其一阶导数为常数，二阶导数为0，好象与u,v无关，实际上，它与u,v之关系是常值函数！当你未给定f(u,v)的具体表达式时，那么它对u,v的偏导数就还是u,v的函数！我说的‘函数对自变量求导（或求偏导）后，一般而言还是该自变量的函数。’这话
一点问题也没有，尤其‘一般而言’的用词也极为恰当。

追问

懂了 老师你的意思是 一般情况是， 但也有特列 我那就是特列。 比如 sinxcosx +sinx+cosx 这样的复杂的 那么 u=sinx v=cosx y'u=v+1 这样的话 他就是 v的函数 ，是吧 我这样理解没错吧， 因为不知道表达式具体是什么，所以一般情况y'u还是u v的函数

追答

你的理解是对的。