证明题：设f(x)在0,1]上连续且f(0)=f(1),则存在ξ属于[0,1],使f(ξ)=f(ξ+1/2)
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设F(x)=f(x+1/2)-f(x)，则
F(0)=f(1/2)-f(0)
F(1/2)=f(1)-f(1/2)
因f(0)=f(1)，故
F(0)=-F(1/2)
第一种情况，F(0)=F(1/2)=0，有
f(1/2)=f(0)
即存在ξ=1/2∈[0,1]使f(ξ)=f(ξ+1/2)成立；
第二种情况，F(0)与F(1/2)异号，由介值定理，知
必存在一点ξ∈（0,1/2)ㄷ[0,1]使F(ξ)=0
即f(ξ+1/2)-f(ξ)=0
即f(ξ)=f(ξ+1/2)
综上可知，原命题成立.
请采纳，谢谢！
F(0)=f(1/2)-f(0)
F(1/2)=f(1)-f(1/2)
因f(0)=f(1)，故
F(0)=-F(1/2)
第一种情况，F(0)=F(1/2)=0，有
f(1/2)=f(0)
即存在ξ=1/2∈[0,1]使f(ξ)=f(ξ+1/2)成立；
第二种情况，F(0)与F(1/2)异号，由介值定理，知
必存在一点ξ∈（0,1/2)ㄷ[0,1]使F(ξ)=0
即f(ξ+1/2)-f(ξ)=0
即f(ξ)=f(ξ+1/2)
综上可知，原命题成立.
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