Question

数学中考题

Answer 1

（1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，
利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，
∵△BGF是等边三角形，
∴FG=BG，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CE=CG，
∴CP是EG的中垂线，
在Rt△CPG中，∠PCG=60°，
∴PG=根3PC．

追答

（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，

∵∠ABC=60°，△BGF正三角形
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP=∠GFP，
在△DPE和△FPG中
∠EDP=∠GFP
DP=FP
∠DPE=∠FPG

∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=∠CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，
CD=CB
∠CDE=∠CBE=60°
DE=BG

∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=
1
2
∠ECG=60°
∴PG=根3PC．

（3）猜想：PG=根3PC．
证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC

∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC=120°，
∵△BFG是等边三角形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴PG=根3PC．

（3）猜想：PG=根3PC．
证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC

∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC=120°，
∵△BFG是等边三角形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴PG=根3PC．