Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F（1,0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰三

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F（1,0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰三角形。
1）求椭圆C的方程；
2）是否存在直线L交椭圆C于P,Q两点，且使点F为△PQM的垂心？若存在，求出直线L的方程；若不存在；请说明理由。

Answer 1

b=1,c=1,a^2=2 ,x^2/2+y^2=1
存在：M（0,1） FM：y=-x+1,设 PQ :y=x+k P(x1,y1) ，Q(x2,y2)
代入椭闷慎圆方程得：3x^2+4kx+2k^2-2=0 ，16K^2-12(2k^2-2)>0， k^2<3
x1+x2=-2k/3,x1x2=(2k^2-2)/3
又 FP⊥MQ （x1+k)/(x1-1)*(x2+k-1)/x2=-1
x1x2+k(x2+x1)-x1+k^2-k=-x1x2+x2
( 4k^2-4)/让中3+(k-1)(-2k/3)+K^2-k=0
4k^2-4-2k^2+2k+K^2-k=0,3k^2+k-4=0, k=1舍 或蚂滑敬-4/3