Question

如图1,在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN垂直DM,交角CBE

Answer 1

证明：（1）取AD的中点H,连接HM,
∵四边形ABCD是正方形,M为AB的中点,
∴BM=HD=AM=AH,
∴△AMH为等腰直角三角形,
∴∠DHM=135°,
而BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN=135°,
∴∠DHM=∠MBN,
又∵DM⊥MN,
∴∠NMB+∠AMD=90°,
又∵∠HDM+∠AMD=90°,
∴∠BMN=∠HDM,
∠HDM＝∠BMN
DH＝MB
∠DHM＝∠MBN
∴△DHM≌△MBN（ASA）,
∴DM=MN；
（2）DM=MN仍成立．
如图1,在AD上取一点H,使DH=MB,连接HM,
∵四边形ABCD是正方形,BN平分∠CBE,DM⊥MN,
∴∠MBN=135°,
∵AH=AM,
∴∠AHM=45°
∴∠DHM=135°,
∠BMN+∠AMD=90°,∠HDM+∠AMD=90°,
∴∠BMN=∠HDM,
∴△DHM≌△MBN,
∴DM=MN．