Question

数学题目，求回答

正方形ABCD边长为2,F为AB的中点,E点是线段DC上的一个动点,连接EF,作EF的垂线,交线AB于G点，设DE=x,GE=y
(1)问有几对相似三角形，并证明
（2）求出y与x的函数关系式，并求出定义域
（3）连接AC，与FG,EC分别交于M，N两点，是否纯在△AMF与△CEN相似。相似的求出DE，不相似的说明理由
图在百度空间里

Answer 1

2012-6-7 22:39 攞你命三千 | 十一级
不看你的图的话基本上没法做，应该是【F是AD的中点】和【过F作FE的垂线交AB于G】、【连接AC，与FG、EG分别交于M，N两点】。

（1）Rt△FDE∽Rt△GAF∽Rt△GFE
证明如下：
因为 ∠FDE=∠GAF ……①
∠DFE+∠GFA=∠AGF+∠GFA=90° →∠DFE=∠AGF……②
由①②可证得 Rt△FDE∽Rt△GAF；
而 根据勾股定理可得
EF=√(DE²+FD²)=√(1+x²)，
从上面的 Rt△FDE∽Rt△GAF 可求得 DE/AF=EF/FG
于是 FG=[√(1+x²)]/x
所以 FG/FD =FE/DE=[√(1+x²)]/x ……③
对应角为 ∠GFE=∠FDE=90° ……④
根据③④，所以 △GFE∽△FDE。
综上，Rt△FDE∽Rt△GAF∽Rt△GFE。

（2）由（1）可得
FG=[√(1+x²)]/x
由于 △EFG 为直角三角形，
所以 GE²=EF²+FG²
即 y²=(1+x²)+(1+x²)/x²=x²+2+1/x²=(x+1/x)²
由于 x、y均为正数，化简取正可得
y=x+1/x，其中x∈(0，2)。

（3）存在这样的点E，使得△AFM∽△CEN。
因为：
当点E使得 ∠DEF=60° 时，
根据前述结果可得 ∠DEF=∠GEF=∠GFA=60°
而 ∠CEN=180°-∠DEF-∠GEF=60°
所以 ∠AFM=∠CEN=60°……⑤
显然 ∠FAM=∠ECN=(1/2)×90°=45°……⑥
由⑤⑥可得 △AFM∽△CEN，
此时，
DE=FD/tan60°=√3/3

Answer 2

不看你的图的话基本上没法做，应该是【F是AD的中点】和【过F作FE的垂线交AB于G】、【连接AC，与FG、EG分别交于M，N两点】。

（1）Rt△FDE∽Rt△GAF∽Rt△GFE
证明如下：
因为 ∠FDE=∠GAF ……①
∠DFE+∠GFA=∠AGF+∠GFA=90° →∠DFE=∠AGF……②
由①②可证得 Rt△FDE∽Rt△GAF；
而 根据勾股定理可得
EF=√(DE²+FD²)=√(1+x²)，
从上面的 Rt△FDE∽Rt△GAF 可求得 DE/AF=EF/FG
于是 FG=[√(1+x²)]/x
所以 FG/FD =FE/DE=[√(1+x²)]/x ……③
对应角为 ∠GFE=∠FDE=90° ……④
根据③④，所以 △GFE∽△FDE。
综上，Rt△FDE∽Rt△GAF∽Rt△GFE。

（2）由（1）可得
FG=[√(1+x²)]/x
由于 △EFG 为直角三角形，
所以 GE²=EF²+FG²
即 y²=(1+x²)+(1+x²)/x²=x²+2+1/x²=(x+1/x)²
由于 x、y均为正数，化简取正可得
y=x+1/x，其中x∈(0，2)。

（3）存在这样的点E，使得△AFM∽△CEN。
因为：
当点E使得 ∠DEF=60° 时，
根据前述结果可得 ∠DEF=∠GEF=∠GFA=60°
而 ∠CEN=180°-∠DEF-∠GEF=60°
所以 ∠AFM=∠CEN=60°……⑤
显然 ∠FAM=∠ECN=(1/2)×90°=45°……⑥
由⑤⑥可得 △AFM∽△CEN，
此时，
DE=FD/tan60°=√3/3。