Question

如图，以三角形ABC的边AB,AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG。求证：若DF∥BC,则AB=AC,反之..........

如图，以三角形ABC的边AB,AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG。求证：若DF∥BC,则AB=AC,反之则DF∥BC。+++++速度越快愈好++++++

Answer 1

证明：(1)因为由于正方形边长相等，

∴AB=AC与AE=AG同时成立与否，

故若DF∥BC,则AB=AC,与若DF∥EG,则AE=AG,是相同的命题，

∴当DF∥BC时，其实也DF∥EG

∴EG∥BC

作AK⊥BC于K,延长KA交EG于H,

∴KH⊥EG

因为∠HAG=∠KCA(同为∠KAC的余角)

GA=AC∴RT△GHA≅RT△AKC

∴GH=AK

同理EH=AK

∴EH=HG

∴AE=AG

则AB=AC

(2)同上作KA⊥BC于K,延长KA交GE于H,

因为AB=AC

∴∠ABK=∠ACK

作GH'⊥KH于H'于是RT△GH'A≅RT△AKC

∴∠H'AG=∠ACK   

同理可证明∠H''AE=∠ABK    

∴∠H'AG=∠H''AE

∴AH⊥EG(等腰三角形三线合一)

∴EG∥BC

分别延长ED、GF交直线BC于P、Q,

因为∠P=∠ABC   ∠Q=ACB(平行线同位角)

∠ABC=ACB     ∴∠P=∠Q

BD=CF

∴RT△DPB≅RT△FQC

∴DP=FQ

ED=CF

∴ED/DQ=GF/FQ

∴EG∥DF∥PQ

即DF∥BC