Question

f(x)在x=0处连续，且lim(x→0)（f(x)/x)=a...... 证明lim(x→0)f(x)=0

Answer 1

永原始的ε-δ语言即可：
lim(x→0)（f(x)/x)=a 意思是对任意ε>0 ,存在δ1>0
当0<|x|<δ1时， 有|f(x)/x -a| < ε
f(x)在x=0处连续 ，则对上述ε，存在δ2>0
当0<|x|<δ2时， 有|x| < ε
则对任意的ε>0，取δ=min（δ1，δ2）
有|f(x)|=|x[f(x)/x-a] + ax| <= |x[f(x)/x-a]| + |a| |x| <= |x| |f(x)/x-a| + |a| |x| <= ε^2+ |a|ε
因此lim(x→0)f(x)=0 。 当然你可以让上面的|f(x)/x -a| < ε，|x| < ε取的好一点让最后结果小于ε，不过结果是一样的