Question

如何理解圆的内切和外切？

Answer 1

在数学中，若一个二维平面上的多边形的每条边都能与多边形内部的一个圆形相切，该圆就是多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。一个多边形至多有一个内切圆，也就是说对于一个多边形，它的内切圆，如果存在的话，是唯一的。并非所有的多边形都有内切圆。三角形和正多边形一定有内切圆。拥有外接圆的四边形被称为圆外切四边形。

概念
与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。

特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。

性质
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。

常见辅助线：过圆心作垂直

相关公式
对于一般的三角形，内切圆半径公式如下：r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]

在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。

两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。

1、r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面积，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）

2、r=ab/ (a+b+c)

扇形内切圆

与扇形⌒AOB的圆弧⌒AB及两条半径OA,OB都相切的圆叫扇形的内切圆。

内切圆圆心O′在扇形的圆心角AOB的角平分线上

OO′=R-r(R是扇形半径,r是内切圆半径)

过O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中

∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r

∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r

内切圆面积=πr^2,

扇形面积是原来圆面积的60/360=1/6

∴扇形面积=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2

∴形的内切圆面积与扇形面积的比为πr^2:(3πr^2/2)=2:3

直角三角形的内切圆的半径=二分之一×（直角边+另一直角边－斜边）

内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。

内切圆等于外切圆的2分之1

面积与原正方形比为π：4