Question

高中数学（第二问不用椭圆知识）

如图，海岸线MAN，∠A=2θ，现用长为l的拦网围成一养殖场，其中B∈MA，C∈NA．
（1）若BC=l，求养殖场面积最大值；
（2）若B、C为定点，BC＜l，在折线MBCN内选点D，使BD+DC=l，求四边形养殖场DBAC的最大面积；

Answer 1

（1） 设AB=x, AC=y, x>0,y>0
由题意得，l^2=x^2+y^2-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ,
xy≤l^2/(2-2cos2θ)=l^2/[4(sinθ)^2],
S=1/2(xysin2θ)≤1/2•l^2/[4(sinθ)^2]•2sinθcosθ=l^2cosθ/4sinθ,
所以，△ABC面积的最大值为l^2cosθ/4sinθ,，当且仅当x=y时取到．
(2) 设AB=m，AC=n（m，n为定值）． BC=2c（定值），
由DB+DC=l=2a，a=1/2•l，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，S△ABC=1/2mnsin2θ为定值．
只需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点．b=(a^2-c^2)^(1/2)
=(l^2/4-c2)^(1/2),，S△BCD面积的最大值为1/2•2c•b=c•(l^2/4-c^2)^(1/2)，
因此，四边形ACDB面积的最大值为1/2m•n•sin2θ+c•(l^2/4-c^2)^(1/2)．