Question

已知数列{an}满足Sn+S(n-1)=t·an^2(t＞0,n≥2),且a1=0,n大于等于2时，an＞0,其中Sn是数列an的前n项和。

（1）求{an}通项公式。（2）若对于n≥2，n∈N*，不等式(1/a2·a3)+(1/a3·a4)+…+(1/an·a（n+1）)＜2恒成立，求t的取值范围

Answer 1

Sn+S(n-1)=t·an²
S(n-1)+S(n-2)=t·a(n-1)²
an+a(n-1)=t[an²-a(n-1)²]
an+a(n-1)=t[an+a(n-1)][an-a(n-1)]
t[an-a(n-1)]=1
an-a(n-1)=1/t
an=a(n-1) + 1/t
∴{an}是，以a1=0为首项，公差d=1/t的等差数列
an=0+(n-1)×1/t
=(n-1)/t
(2)、1/an·a(n+1)=1/{[(n-1)/t][n/t]}
=t²/n(n-1)
(1/a2·a3)+(1/a3·a4)+…+(1/an·a（n+1）)
=t²[1/1×2+1/2×3+/3×4+.......1/(n-1)n]
=t²[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+......+1/(n-1)-1/n]
=t²(1-1/n)
∵1-1/n＜1 只能无限的接近于1
∴要使t²(1-1/n)＜2恒成立
t²≤2
∴ -√2≤t≤√2

Answer 2

解：
1）an通项公式为an=(n-1)/t
2) t 取值范围是（0，√2 ]
解题过程：
由：
Sn+S(n-1)=t·an²
S(n-1)+S(n-2)=t·a(n-1)²
两式相减，由于Sn-S(n-1)=an
所以：
an+a(n-1)=t[an²-a(n-1)²] = t[an+a(n-1)][an-a(n-1)]
因当n≥2时，an>0，所以两面消去an+a(n-1)，即：
an-a(n-1)=1/t
an=a(n-1) + 1/t
an是首项为0，公差1/t的等差数列
∴an=(n-1)/t
(2)(1/a2·a3)+(1/a3·a4)+…+(1/an·a(n+1))
=t²[1/1×2+1/2×3+/3×4+.......1/(n-1)n]
=t²[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+......+1/(n-1)-1/n]
=t²(1-1/n) <2
即：t²≤2
由于当n≥2时，an>0，所以t>0
得到：0<t≤√2

Answer 3

an=(n-1)/t t＜2

追问

请问 过程是？？

追答

根据Sn-S(n-1)=an与Sn+S(n-1)=t·an^2联立 可得an t /(n-1)n=t(1/(n-1）-n)