31的立方➕35的立方➕39的立方➕……➕71的立方等于多少怎么算?

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zhangsonglin_c
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2023-03-26 · 醉心答题,欢迎关注
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31³+35³+39³+……+71³,
这是等差数列的立方和,公差4,项数n=(71-31)÷4+1=11;
a[n+1]³=(an+4)³=an³+12an²+48an+64
35³=31³+12x31²+48x31+64
39³=35³+12x35²+48x35+64
43³=39³+12x39²+48x39+64
……
71³=67³+12x67²+48x67+64
75³=71³+12x71²+48x71+64
--------------------------------两边相加,消除两边相同项
75³=31³+12(31²+……+67²+71²)+48(31+……+67+71)+11x64
(31²+……+67²+71²)=(75³-31³-11x4³-48x(31+71)x11/2)/12
=30371
a[n+1]^4=(an+4)^4=an^4+16an^3+96an^2+256an+256
35^4=31^4+16x31^3+96x31^2+256x31+256
39^4=35^4+16x35^3+96x35^2+256x35+256
……
71^4=67^4+16x67^3+96x67^2+256x67+256
75^4=71^4+16x71^3+96x71^2+256x71+256
----------------------------------------------------------两边相加,消去两边相同项
75^4=31^4+16(31³+……+71³)+96(31²+……71²)+256(31+……+71)+11x256
(31³+……+71³)=[75^4-31^4-96x30371-256x(31+71)x11/2-11x256]/16
=1728441
这种方法,可以通用。也可以公式化。
如果知道下面的公式,也可以用更简单的方法求解:
1+2+3+……+n=n(n+1)/2=S1(n)
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6=S2(n)
1³+2³+3³+……+n³=[n(n+1)/2]²=S3(n)
31³=(32-1)³=32³-3x32²+3x32-1
35³=(36-1)³=36³-3x36²+3x36-1
39³=(40-1)³=40³-3x40²+3x40-1
……
71³=(72-1)³=72³-3x72²+3x72-1
(31³+……+71³)=(32³+……+72³)-3(32²+……+72²)+3(32+……+72)-1x11
=4³(8³+9³+……+18³)-3x4²(8²+9²……+18²)+3x4(8+9+……+18)-11
=64x(S3(18)-S3(7))-48(S2(18)-S2(7))+12(8+18)x11/2-11
=64x([(1+18)x18/2]²-[(1+7)x7/2]²)-48[18(18+1)(2x18+1)/6-7(7+1)(2x7+1)/6]+1716-11
=64x(29241-784)-48(2109-140)+1705
=1728441
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