Question

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a=3,cos[（A+C）/2]=√3/3 (1)求cosB的值

（2）分别求b的取值范围及向量AB·向量AC的取值范围

Answer 1

1 cos((A+C)/2)=cos((Pi-B)/2)=cos(Pi/2-B/2)=sinB/2=√3/3
So cosB=1-2sin^2 (B/2)=1-2(√3/3)^2=1/3
2 sinB=2√2/3, sinA/a=sinB/b, b=asinB/sinA=2√2/sinA>=2√2，等号当直角三角形时取得。
AB·AC=bc*cosA。设C到AB垂足为D，固定a，B，则BA方向已定。当A从B开始向D移动，并经过D继续移动的过程中，cosA从-cosB=-1/3增长到0，再继续增长，趋向于1；而c从0开始一直在增加；b先由a=3减小到垂直时的2√2，再一直增加。故AB·AC先从0开始减小到某个负数，然后再增加到0，最终趋向于无穷。
为计算该负数，由余弦定理得，AB·AC=bc*cosA=（b^2+c^2-9）/2，
而由正弦定理得b=2√2/sinA，
c=3sinC/sinA=3sin(A+B)/sinA=3(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=1+2√2cosA/sinA。
设cosA=x，则sinA=√(1-x^2)，b^2+c^2=f(x)=-7+16/(1-x^2)+4√2x/√(1-x^2)，求出f'(x）。
令f'(x)=0，化简得8x/√(1-x^2)+√2=0，x=-1/√33，易得该点是f(x)的最小值点。f(-1/√33)=17/2，因此AB·AC=（b^2+c^2-9）/2的最小值为-1/4。故AB·AC的范围为大于或等于-1/4。