二次根式的乘法与除法 二次根式除法规律
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二次根式的乘法与除法 一、学习要求
会用积的算术平方根，商的算术根的性质化简二次根式。 二、例题分析
第一阶梯 [例1]填空
提示： 1、
有意义的条件是什么？
2、同时满足两个条件的情况如何用数学语言表示？ 3、不等式组的解如何确定？ 参考答案：
（1）x≥5 （2）-2≤x≤3 说明：
有意义的条件是a≥0，
是在一定条件下才成立的，不能单单
理解为只要ab≥0就有上
式成立。因为式子要求不仅需要等式左边有意义，同时需要右边的时有意义，所以题目要求应 为a≥0，b≥0时等式
成立。这样，我们知道题目的解法应为：
与
同
同时，在解题过程中，应注意不等式组的解法。 [例2]选择题
成立的条件是（ ）
（A ）-1≤x＜2 （B ）-1≤x≤2 （C ）x≤1 （D ）x ＞2 提示：
1、成立的条件是什么？
2、如何用数学表达式表示上式成立的条件？
3、不等式组的解法应该注意什么问题？如何确定不等式组的解集？ 参考答案：A 说明：
等式成立的条件应为左边与右边同时有意义，否则不能说成立，对于，它表示商的算术平方根的性质，
即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，并且被除式a≥0，除式b ＞0，于是
式（a≥0， b＞0）可以用来求分式（或分数）的算术平方根。这样题目的解法应为：
另外，在解不等式组时，其解集的确定应为几个不等式解集的公共部分。
[例3]化简
提示：
1、被开方数是什么形式时，可以使用二次根式的性质？
2、当a≥0时，如何化简？
3、被开方数是多项式时应该如何处理？ 参考答案：
说明：
当被开方数是单项式时，把被开方数分解因式，利用二次根式的性质
，把能开得尽方数移
到根号外面。当被开方数是多项式时，首先把每个多项式分解为因式乘积形式，再运用积的算术平方根的 性质及关系式
（a≥0）化简。
注意：被开方数含有因式x 2+y2不是完全平方式，所以不能开平方。 化简二次根式的步骤是：
1、把被开方数分解因式（或因数）使其变为因式积的形式。
2、应用积的算术平方根的性质把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平 方根的积。
3、如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式个因式（或因数）开出来， 从而将二次根式化简。
4、化简的最后结果，应使二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数）的指数都小于2。
第二阶梯 [例1]化简：
（a≥0），把这
提示：
1、被开方数是带分数时，如何使用二次根式的性质？
2、被开方数的分子或分母是两个因式的乘积形式时怎么化简？ 参考答案：
说明：
被开方数是带分数，首先要把它化为假分数，再根据商的算术平方根的性质化简。被开方数的分子是乘
积的形式，可以变形为，再运用商与积的算术平方根的性质，把原式
化简。形如（n≥0，
m ＞0）的二次根式的化简的步骤是：
1、利用商的算术平方根的性质，把式子。
2、当被开方数的分子或分母是两个因式（或因数）之时，应利用积的算术平方根的性质，分别将
化简。
[例2]计算
提示：
1、二次根式的乘法法则是什么？除法法则是什么？ 2、有理数乘法中的符号法则在实数范围内有什么不同吗？ 3、二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质有什么不同？ 参考答案：
说明： 把式子这是二次根式的
乘法法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根，这个法则成立
的条件是
a≥0，b≥0，运用这个法则可以进行二次根式的乘法运算。把式子
（a≥0，b≥0）反过来，得到：
（a≥0，b≥0），
（a≥0，b ＞0）反
过来，得到：（a≥0，b ＞0），这是二次根式的除法法则，运用这个
法则可以进行二次根式的除 法运算。
在进行二次根式的乘除法运算时，把两个二次根式中的根号外面的数与被开方
数分别相乘（或相除）然
后取其积。这是因为在实数一章里，我们已经明确了，有理数的运算法则和运算律，在实数范围内也成立， 如乘法的交换律及结合律等。
在运算中应注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。因此，第（1）小题的运算 结果应为负号。
运用二次根式的乘法法则进行简单的二次根式的乘法运算步骤是： 1、运用法则把因式的算术平方根的积化为因式的积的算术平方根。 2、如果被开方数是平方式（或平方数），可运用式子移到根号外面，使二次根式
中的被开方数没有平方式（或平方数）。
（a≥0）把它
二次根式的除法法则是由商的算术平方根的性质到的，二次根式的除法法则
和商的算术平方根的性质所表示的式子是相反方向。 第（3）小题还可以有以下两种解法：
（a≥0，b ＞0）得
[例3]计算
提示：
1、二次根式乘法中的符号如何确定？
2、运算结果被开方数有什么要求？ 3、乘、除的混合运算应按照什么规律进行？ 4、被开方数中的分母如何去掉？ 参考答案：
说明：
第（1）题在运算中注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。
第（2）题根据二次根式的乘法法则及乘法运算律，在运算中应注意，先把第二个被开方数分解因式，
运算结果中，被开方数不含能开得尽方的因数及完全平方式。
第（3）题运用二次根式的乘法法则，按题中所给出的先后顺序进行计算，最后将所得到的二次根式化
简，使被开方数中不含分母，也不含开得尽方的因式或因数。在解法二中，只要把被开方数的分母变为平 方数，就可去掉分母的根号。
第（4）题，此题由原式得到式子分母分别乘以3b ，直接化
后，也可以将被开方数中的分子与
去分母的根号。在进行二次根式的除法运算时分母有理化可以采取下面两种方法：1、把分子与分母都乘
以同一个代数式，化去分母的根。2、把被开方数中的分子与分母都乘以同一个因式（或因数），使被开
方数的分母变成平方式（或平方数），再化去分母的根号。 第三阶梯 [例1]化简
提示：
1、题中的隐含条件是什么？
2、被开方数应整理为什么形式可以达到化简的目的？ 3、如何化简|x -y |?
4、式子参考答案：
成立的条件是什么？
说明：
这道题是二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则可以判断出x-y≥0，被开方数是多项式时，应注意
把它们分解因式，运用积的算术平方根的性质因式的积的算术平方根化简， 在运算中注意使用移到根号外面。 [例2]计算
（a≥0）把被开方数的因式（或因数）能开得尽方的
（a≥0，b≥0）把
提示： 1、
可以写成哪两个二次根式的积？
2、题目的分子、分母有什么特点？ 3、此题可以采用什么解法？ 参考答案：
说明：
[例3]填空：
提示：
参考答案：2 说明：
三、检测题 1、
2、
3、
4、
5、
答案： 1、
2、a≤5
3、a≤0 b≤0 4、
5、
会用积的算术平方根，商的算术根的性质化简二次根式。 二、例题分析
第一阶梯 [例1]填空
提示： 1、
有意义的条件是什么？
2、同时满足两个条件的情况如何用数学语言表示？ 3、不等式组的解如何确定？ 参考答案：
（1）x≥5 （2）-2≤x≤3 说明：
有意义的条件是a≥0，
是在一定条件下才成立的，不能单单
理解为只要ab≥0就有上
式成立。因为式子要求不仅需要等式左边有意义，同时需要右边的时有意义，所以题目要求应 为a≥0，b≥0时等式
成立。这样，我们知道题目的解法应为：
与
同
同时，在解题过程中，应注意不等式组的解法。 [例2]选择题
成立的条件是（ ）
（A ）-1≤x＜2 （B ）-1≤x≤2 （C ）x≤1 （D ）x ＞2 提示：
1、成立的条件是什么？
2、如何用数学表达式表示上式成立的条件？
3、不等式组的解法应该注意什么问题？如何确定不等式组的解集？ 参考答案：A 说明：
等式成立的条件应为左边与右边同时有意义，否则不能说成立，对于，它表示商的算术平方根的性质，
即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，并且被除式a≥0，除式b ＞0，于是
式（a≥0， b＞0）可以用来求分式（或分数）的算术平方根。这样题目的解法应为：
另外，在解不等式组时，其解集的确定应为几个不等式解集的公共部分。
[例3]化简
提示：
1、被开方数是什么形式时，可以使用二次根式的性质？
2、当a≥0时，如何化简？
3、被开方数是多项式时应该如何处理？ 参考答案：
说明：
当被开方数是单项式时，把被开方数分解因式，利用二次根式的性质
，把能开得尽方数移
到根号外面。当被开方数是多项式时，首先把每个多项式分解为因式乘积形式，再运用积的算术平方根的 性质及关系式
（a≥0）化简。
注意：被开方数含有因式x 2+y2不是完全平方式，所以不能开平方。 化简二次根式的步骤是：
1、把被开方数分解因式（或因数）使其变为因式积的形式。
2、应用积的算术平方根的性质把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平 方根的积。
3、如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式个因式（或因数）开出来， 从而将二次根式化简。
4、化简的最后结果，应使二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数）的指数都小于2。
第二阶梯 [例1]化简：
（a≥0），把这
提示：
1、被开方数是带分数时，如何使用二次根式的性质？
2、被开方数的分子或分母是两个因式的乘积形式时怎么化简？ 参考答案：
说明：
被开方数是带分数，首先要把它化为假分数，再根据商的算术平方根的性质化简。被开方数的分子是乘
积的形式，可以变形为，再运用商与积的算术平方根的性质，把原式
化简。形如（n≥0，
m ＞0）的二次根式的化简的步骤是：
1、利用商的算术平方根的性质，把式子。
2、当被开方数的分子或分母是两个因式（或因数）之时，应利用积的算术平方根的性质，分别将
化简。
[例2]计算
提示：
1、二次根式的乘法法则是什么？除法法则是什么？ 2、有理数乘法中的符号法则在实数范围内有什么不同吗？ 3、二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质有什么不同？ 参考答案：
说明： 把式子这是二次根式的
乘法法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根，这个法则成立
的条件是
a≥0，b≥0，运用这个法则可以进行二次根式的乘法运算。把式子
（a≥0，b≥0）反过来，得到：
（a≥0，b≥0），
（a≥0，b ＞0）反
过来，得到：（a≥0，b ＞0），这是二次根式的除法法则，运用这个
法则可以进行二次根式的除 法运算。
在进行二次根式的乘除法运算时，把两个二次根式中的根号外面的数与被开方
数分别相乘（或相除）然
后取其积。这是因为在实数一章里，我们已经明确了，有理数的运算法则和运算律，在实数范围内也成立， 如乘法的交换律及结合律等。
在运算中应注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。因此，第（1）小题的运算 结果应为负号。
运用二次根式的乘法法则进行简单的二次根式的乘法运算步骤是： 1、运用法则把因式的算术平方根的积化为因式的积的算术平方根。 2、如果被开方数是平方式（或平方数），可运用式子移到根号外面，使二次根式
中的被开方数没有平方式（或平方数）。
（a≥0）把它
二次根式的除法法则是由商的算术平方根的性质到的，二次根式的除法法则
和商的算术平方根的性质所表示的式子是相反方向。 第（3）小题还可以有以下两种解法：
（a≥0，b ＞0）得
[例3]计算
提示：
1、二次根式乘法中的符号如何确定？
2、运算结果被开方数有什么要求？ 3、乘、除的混合运算应按照什么规律进行？ 4、被开方数中的分母如何去掉？ 参考答案：
说明：
第（1）题在运算中注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。
第（2）题根据二次根式的乘法法则及乘法运算律，在运算中应注意，先把第二个被开方数分解因式，
运算结果中，被开方数不含能开得尽方的因数及完全平方式。
第（3）题运用二次根式的乘法法则，按题中所给出的先后顺序进行计算，最后将所得到的二次根式化
简，使被开方数中不含分母，也不含开得尽方的因式或因数。在解法二中，只要把被开方数的分母变为平 方数，就可去掉分母的根号。
第（4）题，此题由原式得到式子分母分别乘以3b ，直接化
后，也可以将被开方数中的分子与
去分母的根号。在进行二次根式的除法运算时分母有理化可以采取下面两种方法：1、把分子与分母都乘
以同一个代数式，化去分母的根。2、把被开方数中的分子与分母都乘以同一个因式（或因数），使被开
方数的分母变成平方式（或平方数），再化去分母的根号。 第三阶梯 [例1]化简
提示：
1、题中的隐含条件是什么？
2、被开方数应整理为什么形式可以达到化简的目的？ 3、如何化简|x -y |?
4、式子参考答案：
成立的条件是什么？
说明：
这道题是二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则可以判断出x-y≥0，被开方数是多项式时，应注意
把它们分解因式，运用积的算术平方根的性质因式的积的算术平方根化简， 在运算中注意使用移到根号外面。 [例2]计算
（a≥0）把被开方数的因式（或因数）能开得尽方的
（a≥0，b≥0）把
提示： 1、
可以写成哪两个二次根式的积？
2、题目的分子、分母有什么特点？ 3、此题可以采用什么解法？ 参考答案：
说明：
[例3]填空：
提示：
参考答案：2 说明：
三、检测题 1、
2、
3、
4、
5、
答案： 1、
2、a≤5
3、a≤0 b≤0 4、
5、
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