Question

在rt三角形ABC中,角C=90°,AC=4,角A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E'DC ，射线DE'交直线BM于点G．
（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；
（2）如图2，当点G在点F的右侧时；
①求证：△BDF∽△BGD；
②设AE=x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）如果△DFG的面积为6根号3 ，求AE的长．

Answer 1

【第（1）题】
解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线
∴CD = AD = (1/2)AB
而，∠BAC=60°，
∴△ACD为等边三角形
即有，∠BAC=∠ECD=60°，AC=CD
又，CD⊥EF 即，∠ACB=∠CDE=90°
∴△ABC≌△CED（AAS）
∴CE=AB = 2*AC
即，AE = AC = 4

又，BM//AC，AD=BD， 易证△ADE≌△BDF（AAS）
∴EF=AE = 4

【第（2）题】
①证明：设∠ADE=∠BDF= α
∵外角∠CAD = ∠AED + α = 60°
∴∠AED = 60°- α
而，∠BDG = 180° - ∠BCD - ∠CBD - ∠CDE’‘………………………………（*）
由（1）得，△ACD为等边三角形
则有，∠BCD +∠CBD = ∠ADC = 60°
由题意，△CDE‘’是△CDE翻折所得
∴△CDE‘’≌△CDE
则有，∠CDE‘’=∠CDE = 60°+ α
代入（*）式，得
∠BDG = 180° - 60° -（60°+ α） = 60° - α
∴∠AED = ∠BDG
又，BM//AC
∴∠AED = ∠BFD
∴∠BFD = ∠BDG
而，∠DBG为△BDF和△BGD的公共角
∴△BDF∽△BGD 得证 （证毕）

②过点D作DN⊥BM于N，
∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点，
易证DN= (1/2)BC= (1/2)AC*tan60° = (1/2)*4*√3 = 2√3
由①得，△BDF∽△BGD
∴BF：BD = BD：BG
∴BG = BD²/BF
∴FG = BG - BF = BD²/BF - BF
而，BD = AD = AC = 4， BF = AF = x
代入，得
FG = (16/x) - x
∴ S△DFG = (1/2)DN*FG = (1/2)*2√3*[ (16/x) - x ]
即，y = (16√3 /x ) － √3 x

∵点G必须在点F右侧，
画图可知，∠CDE的度数必须在区间（60°，90°）内
当∠CDE=60°时，x=AE=0
当∠CDE=90°时，x=AE=AC = 4 （已证）
∴ 0＜x＜4

【第（3）题】
解：当 y = 6√3时，
即，(16√3 /x ) － √3 x = 6√3
解得，x = -8（舍去），或 x = 2
∴当S△DFG = 6√3时，AE = 2

Answer 2

6根号=0.848526，0.848526*3/xy=4