Question

在三角形ABC中.角ACB等于90度.AC等于BC.p是三角形内一点.且PB等于1.PC等于2.PA等于3.求角BPC的度数.

Answer 1

135度
将三角形PBC绕点C旋转90度后到三角形P'AC的位置
易证角CP'P=45度
P'P=2√2
在三角形P'PA中，由勾股定理的逆定理可得角PP'A=90
所以角AP'C=135度
即角BPC的度数=135

Answer 2

法一：过P作PD垂直BC，PE垂直AC，垂足为D，E
则PD=CE,CD=PE
设PD=CE=m,CD=PF=n,AC=BC=a
则有：PA^2=3^2=9=PE^2+AE^2=n^2+(a-m)^2 (1)
PB^2=1=PD^2+BD^2=m^2+(a-n)^2 (2)
PC^2=2^2=4=PE^2+PD^2=m^2+n^2 (3)
(3)-(2) 3=2an-a^2
n=(a^2+3)/(2a) (4)
(3)-(1) -5=2am-a^2
m=(a^2-5)/(2a) (5)
a^2>5 (6)
(4)(5)代人（3）
a^4-10a^2+17=0
a^2=5+2*2^(1/2),或a^2=5-2*2^(1/2)(由（6）舍去）
所以a^2=5+2*2^(1/2)
由余弦定理：cos∠BPC=(PB^2+PC^2-BC^2)/(2PB*PC)
=(1+2^2-5-2*2^(1/2))/(2*1*2)=-(2^(1/2))/2
所以∠BPC=135°。
因为边是成比例，所以角度不变。
法二：过C做垂线垂直于PC并取CD=PC 连接PD BD
则△PCD为等腰直角三角形，∠CPD=45°
AC=CB ∠BCD=90°-∠PCB=∠ACP PC=CD
△ACP≌△BCD AP=BD=3 PD*PD=2*2+2*2 PD=2√2 PB=1
所以BD*BD=9=PD*PD+PB*PB=1+8=9
所以∠DPB=90° ∠BPC=45°+90°=135°