Question

高二数学理科 ，跪求详细解答。

把正整数按从小到大顺序排列成下列 数表，数表中的i行共有2^i-1个正整数：
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
............................................................
设an（i,j属于E*）是位于数表中从上往下数第 i 行，从左往右第j个数
1.若an=2012 求 i , j 的值
2.记An=a11+a22+a33+L+ann(n属于N*），求数列｛An}的通项公式
3.猜想An与n²+n的大小关系，并证明你的结论

Answer 1

第n行的第一个是2^(n-1),,最后一个是2^n-1;
2^10=1024,2^11=2048,,所以2012是第11行，第10行最后一个是1023，
j=2012-1023=989；；
An=2^(1-1)+2^(2-1)+1+2^(3-1)+2+2^(4-1)+3+......+2^(n-1)+n-1；
=2^0+2^1+2^2+.....+2^(n-1)+1+2+3+......+n-1;
=2^n-1+(n-1)*n/2;
n=1,An=1,n^2+n=2;;;n=2,An=4,n^2+n=6,;;;n=3,An=10,n^2+n=12;;;
n=4,,An=21,n^2+n=20;;;;猜测n>=4时 An>n^2+n;;;
用数学归纳法证明。。
n=4时，成立。。
设n=k(k>=4)时成立,,即有Ak=2^k-1+(k-1)k/2>k^2+k;;;
n=k+1时，An=2^(k+1)-1+k(k+1)/2>2^k-1+2^k+(k-1)k/2>k^2+k+2^k;
因为n>4时，2^n>2n+2;代入上式An,>k^2+k+2^k>k^2+k+2k+2=k^2+3k+2=（k+1）^2+k+1;
所以当n=k+1时，成立，，原式得证。。
综上，n<4时，An<n^2+n,,,n>=4时，An>n^2+n...

Answer 2

第I行第一个数为2^(i-1)，2^10=1024，2012-1024=988，故2012是第10行第989个数。
第n行第n个数为2^(n-1)+(n-1)，
An=(2^0+0)+(2^1+1)+(2^2+2)+……+[2^(n-1)+(n-1)]
=[1+2+2^2+2^3+……+2^(n-1)]+[0+1+2+3+……+(n-1)]
=2^n-1+n(n-1)/2
D(n)=An-[n²+n]=2^n-n(n+3)/2-1
D'(n)=2^n㏑2-n-3/2，D(n)先减后增。
D(1)=0、D(2)=-2、D(3)=-3、D(4)=0、D(5)=11

Answer 3

1.观察数表每列的第一个数1，2，4，8，16......可以看出第i行第一个数肯定是2^(i-1)，那么第11行第一个数为1024，因为2的十次方等于1024，第12行第一个数为2048，显然2012位于第11行，现在知道了第一个数为1024，那么j=2012-1024+1=989
因此i=11
j=989
2.a11=1，a22=2+1，a33=2^+2,.........ann=2^(n-1)+(n-1)
An=2+4+8+16+.........+2^(n-1)+(1+2+3+..........+n-1)=2^n+1/2(n^2)-n/2-2
3.设K=An-n²-n=2^n-n²/2-3n/2-2
当n=4时K=0 即An=n²+n
n<4时，K<0即An<n²+n
n>4时，K>0即An>n²+n

说一句，你自己再验算一下，方法就是这个了