Question

三元二次方程

求解：a,b,c常量。方程组a=x/√（y^2+z^2）,b=y/√（y^2+z^2）,c=z/√（x^2+y^2）。求x,y,z的值。

Answer 1

1)abc≠0，平方得
y^2+z^2=x^2/a^2,①
z^2+x^2=y^2/b^2,②(改题了)
c^2(x^2+y^2)=z^2.③
把③代入①，y^2+c^2(x^2+y^2)=x^2/a^2,(1+c^2)y^2=(1/a^2-c^2)x^2,
y^2=(1-a^2c^2)x^2/[a^2(1+c^2)],④
把③④代入②，
c^2{x^2+(1-a^2c^2)x^2/[a^2(1+c^2)]}+x^2=(1-a^2c^2)x^2/[a^2b^2(1+c^2)],
化简得(2a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-1)x^2=0,x≠0，
∴2a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=1.
2)a=0时由①x=0,由②y^2=b^2z^2,⑤，
由③z^2=c^2y^2,⑥
把⑥代入⑤，y^2=b^2c^2y^2,
∴b^2c^2=1⑦或y=0,⑧
由⑥⑦，y=土bz(b,y;c,z分别同号),
由⑥⑧，z=0(包含于上式)
3）b=0,
4)c=0,仿上讨论。
综上，a=0,bc=土1时x=0,y=土bz(b,y;c,z分别同号);
b=0,ca=土1时y=0,z=土cx(a,x;c,z分别同号);
c=0,ab=土1时z=0,x=土ay(a,x;b,y分别同号).
abc≠0时2a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=1.