Question

已知函数f（x）对任意的a、b∈R都有f（a+b）=f(a)+f(b)-1,且当x＞0时f（x）＞1.（1）。

求证：f（x）是R上的增函数（2）。若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3.

Answer 1

取a=0、b=0，则f(0)=2f(0)-1、f(0)=1。
取a=x、b=-x，则f(a+b)=f(0)=f(x)+f(-x)-1=1、f(-x)=2-f(x)。
(1)设x1<x2，则x2-x1>0、f(x2-x1)>1。
f(x2-x1)=f(x2)+f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1>1、f(x2)>f(x1)。
所以，f(x)是增函数。
(2)f(2+2)=2f(2)-1=f(4)=5、f(2)=3。
f(3m^2-m-2)<3=f(2)。
由(1)知，f(x)是增函数。
所以，3m^2-m-2<2、3m^2-m-4<0、-1<m<4/3。