Question

已知数列{an}满足递推式：an-a(n-1)=2n-1(n≥2，n∈N*)，且a1=1，求bn=[（-1）^n]·an，前n项和Sn

Answer 1

an-a(n-1)=2n-1
.............
a3-a2=2*3-1
a2-a1=2*2-1
以上等式相加得
an-a1=2*2-1+2*3-1+..........+2n-1
an-1=2*(2+3+......+n)-(n-1)
an-1=2*(n-1)(n+2)/2-n+1
an=n^2+n-2-n+2
an=n^2

b1=[(-1)^1]*a1
=-a1
=-1

b1=[(-1)^n]*an
=(-1)^n*n^2

n为偶数时
Sn=-1^2+2^2+............+n^2
=(2-1)(2+1)+.............+(n+n-1)(n-n+1)
=1+2-..........+n-1+n
=n(n+1)/2
n为奇数时
Sn=-1^2+2^2+............-n^2
=(2-1)(2+1)+.............+(n-1+n-2)(n-1+n-2)-n^2
=n(n-1)/2-n^2
=-n(n+1)/2

Answer 2

对a(n)数列用累加法，得a(n) - a(1) = 2n-1 + 2(n-1)-1 + ……+ 2*2 -1 = (n+2)*(n-1) - (n-1)*1 = n²-1
化简得a(n) = n²
b(n) = [(-1)^n]*a(n) = [(-1)^n]*n²

正常方法有点繁，你可以试着猜想。
S1 = -1
S2 = 3
S3 = -6
S4 = 10
S5 = -15
S6 = 21
假设“-“不看， 1 3 6 10 15 21 都乘2
得2 6 12 20 30 42
很明显
2 = 1*2
6 = 2*3
12 = 3*4
20 = 4*5
猜想S(n) = n(n+1)/2 * (-1)^n
之后就用数学归纳法证明就行。

追问

谢谢