Question

如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH

中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：

当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？

Answer 1

（1）连接AC
E为AB中点，F为BC中点。
所以EF为△ABC中位线，EF∥AC，EF=AC/2
G为CD中点，H为AD中点
所以GH为△ACD中位线，GH∥AC，GH=AC/2
因此EF∥GH，且EF=GH
四边形EFGH一组对边平行且相等，因此为平行四边形
（2）ABCD为等腰梯形时，AC=BD。而EFGH中EF=GH=AC/2，FG=EH=BD/2
所以EFGH为邻边相等的平行四边形，因此是菱形
若ABCD为平行四边形，则其对角线AC、BD既不相等也不垂直，因此EFGH是平行四边形
若ABCD为矩形，则AC=BD。因此EF=FG=GH=EH。EFGH为菱形
若ABCD为菱形，则AC⊥BD。因为EF∥AC，FG∥BD。所以EF⊥FG。EFGH为有直角的平行四边形，因此是矩形
若ABCD为正方形，则AC⊥BD，且AC=BD。因此EF⊥FG，且EF=FG=GH=EH。因此EFGH为正方形
（3）连接四边中点所得到的四边形，两组对边平行且等于原四边形两条对角线的1/2
因此形状与原四边形对角线有关。
当原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形；当原四边形对角线相等，则得到的四边形是菱形；当原四边形对角线垂直且相等，则得到的四边形是正方形

Answer 2

1) 连接BD，则EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG；同理，EF∥HG。故EFGH是平行四边形。
2）答案分别是平行四边形；菱形；矩形；正方形。
3）对角线