Question

已知二次函数f（x）=x平方+ax。若函数f（sinx+根号3cosx）的最大值为16/3，求f（x）的最小值

Answer 1

设t=sinx+√3cosx=2sin(x+π/3），则-2≤t≤2
所以f（sinx+√3cosx）=f(t)=t^2+at(-2≤t≤2)
函数f(t)=t^2+at过（0，0）由对称轴x=-a/2有
若t≤-4，f(t)的最大值是f(0)=0不合题意
若-4<t<0，f(t)的最大值是f(-2)=4-2a
若t=0,f(t)的最大值是f(-2)=f(2)=4不合题意
若0<t<4，f(t)的最大值是f(2)=4+2a
若t≥4，f(t)的最大值是f(0)=0不合题意
当f(-2)=4-2a=16/3时a=-2/3
所以f（x）=x^2+ax=x^2-2/3x,f（x）的最小值为f(1/3)=-1/9
当f(2)=4+2a=16/3时a=2/3
所以f（x）=x^2+ax=x^2+2/3x,f（x）的最小值为f(-1/3)=-1/9
由上可知f（x）的最小值为-1/9