Question

初三二次函数主要知识点

Answer 1

初三数学 二次函数 知识点总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
　⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
　⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
　　
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2. 的性质：
上加下减。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3. 的性质：
　　左加右减。
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4. 的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
　　　方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
　　　⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
　　　
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数与的比较
　　从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
　　画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
　　
六、二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法
　1. 一般式：（，，为常数，）；
　2. 顶点式：（，，为常数，）；
　3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
　　　二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
　　　总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
　2. 一次项系数
　 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
　 ⑴ 在的前提下，
　　　　当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
　　　　当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
　　　　当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
　　　⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
　　　　当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
　　　　当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
　　　　当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
　　　总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
　　　的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：
　　根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
　　1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
　　2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
　　3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
　　4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
　　
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
　 1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
　　关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
　　关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
　　关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称
　　关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
　一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
　图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
　　　② 当时，图象与轴只有一个交点；
　　　③ 当时，图象与轴没有交点.
　　　　 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
　　　　 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3. 二次函数常用解题方法总结：
　⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
　⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

抛物线与轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.

十一、函数的应用
二次函数应用