Question

已知:如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,交AC于D，过点C做CE⊥BD，交BD的延长线于点E

已知:如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,交AC于D，过点C做CE⊥BD，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F，连接DF。
（1）求证：BD=CF;
(2)若CE=2，求△BDF的面积
如图

Answer 1

（1）证明：因为△ABC为等腰直角三角形，BD平分∠BAC
所以∠ABD=∠DBC=22.5°，∠BCA=45°
在Rt△BCE中，∠ACF=180°-90°-∠DBC-∠BCA=180°-90°-22.5°-45°=22.5°
在△ABD和△ACF中
∠BAD=∠CAF=90°；AB=AC；∠ABD=∠ACF=22.5°
所以△ABD全等于△ACF(ASA)
所以BD=CF
（2）解：在△FBC中，因为BD平分∠ABC ，BE⊥CF
所以△FBC为等腰三角形，且FE=EC=2
因为BD=CF=FE+EC=4
所以S△BDF=BD×FE×1/2（可以看成以BD为底，高是F到BD的距离FE）
即S△BFD=4×2×1/2=4

Answer 2

(1）因为CE⊥BD，所以∠BEC=90 又因为,∠BAC=,∠ADB=∠CDE,所以,∠ABD=∠FCA,而,∠BAD=∠CAF=90°,AB=AC,，由于三角形ABD全等于三角形ACF,则BD=CF
（2）延长FD交BC于点H。由于三角形ABD全等于三角形ACF，则有AF=AD,三角形AFD就是等腰直角三角形了，那么,∠HDC=∠ADF=∠AFD=45°，而∠ACD=45°,则DH⊥BC.那么DH=DA,还可以得到DC：DH=根号2:1即DC：DA=根号2:1，从而可以得到DC与AC（他们在一直线上）的比值；
显然三角形BFD全等于三角形BCD进一步可以得到CF=2CE=4，BD也就=4了（下一步有用）；
三角形ABD相似于三角形CDE，通过相似比BD:CD=AB:CE的比值算出AC（=AB)、AD（=AF）的值,那么△BDF的面积就可以出来了

Answer 3

(1) ，
∵ ∠BAD=∠CED=90° ，∠ADB=∠EDC ，
∴∠ABD=∠ACF ，
又∵ ∠BAD=∠CAF=90° ，AB=AC ，
∴ △ABD≌△ACF ，
∴ BD=CF 。
(2) ，
∵ BD平分∠ABC ，BE⊥CF ，
∴ CE=FE=2 ，CF=4 ，
∴ BD=CF=4 ，
∴ S△BDF=BD*FE/2=4*2/2=4 。

Answer 4

(1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，BD平分∠BAC
∴∠ABD=∠DBC=22.5°，∠BCA=45°
在Rt△BCE中，∠ACF=180°-90°-∠DBC-∠BCA=180°-90°-22.5°-45°=22.5°
在△ABD和△ACF中
∠BAD=∠CAF=90°；AB=AC；∠ABD=∠ACF=22.5°
∴△ABD全等于△ACF(ASA)
∴BD=CF
（2）解：在△FBC中，∵BD平分∠ABC ，BE⊥CF
∴△FBC为等腰三角形，且FE=EC=2
∵BD=CF=FE+EC=4
∴S△BDF=BD×FE×1/2
即S△BFD=4×2×1/2=4

Answer 5

（1）证明：
因为在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°，CE⊥BD，所以AB=AC,,∠ABD=∠FCA,,∠BAC=∠CAF,所以三角形ABD和三角形ACF全等，所以BD=CF;
（2）比较麻烦，不过一句三角函数~正余玄定理就可以解除来了

追问

（1）我已经知道了，说说（2）的作法

追答

真的好麻烦啊

追问

这是初一题，我还不知道三角函数和正余玄定理

追答

那你们学过比例没有