Question

矩阵A的特征值是u，证明A的n次方的特征值是u的n次方

帮我证明一下，谢谢啦！
用基本方法，刚开始学的特征值。

Answer 1

设x是A的属于特征值u的特征向量
则 Ax = ux
等式两边左乘A得 A^2x = uAx = u(ux) = u^2x
同理 A^3x = u^3x
....
所以 A^nx = u^nx
即 u^n 是A^n 的特征值.

Answer 2

∵u是A的特征值
∴|A-uI|=0
设B＝A^n
∴|B-u^nI|=0
∴B的特征值为u^n
即A^n的特征值为u^n

Answer 3

有个公式个g(A)x=g(u)x,x为特征向量令g(A)=A^n,则其特征值为u^n