Question

天文工作者观测到某行星的半径为R1，自转周期为T1，它有一颗卫星，轨道半径为R2，绕行星公转周期为T2，...

天文工作者观测到某行星的半径为R1，自转周期为T1，它有一颗卫星，轨道半径为R2，绕行星公转周期为T2，求:1〕该行星的平均密度;2〕要在此行星的赤道上发射一颗质量为m的近地人造卫星，使其轨道沿赤道正上方，且设行星上无任何气体阻力，对卫星至少应做多少功?

Answer 1

第一问，p=M/V=M/(4*pi*R1^3/3)=3*pi＊R2^3/GT^2＊R1^3,其中M=v^2*R2/G=w^2*R2^3/G=4*pi^2*R2^3/(T^2*G)
第二问,0.5*m*v0^2+W=0.5*m*v^2,v^2/R1=GM/R1^2
把后式带入前面的，W=0.5m*GM/R1-0.5m*v0^2 v0是自转线速度 v0=wr=(2*pi/T1)*R1

Answer 2

1. 列方程：M2*(2π/T2)^2 *R2=GM1M2/(R2)^2 ---------①
M1=(4/3)*πρR1^3 ---------②
解得：ρ=3πR2^3/(GT2^2*R1^3）
2. 环绕最低速度为v=sqr(GM1/R1)=sqr(4π^2 *R2^3/(R1*T2^2))
原来的速度即赤道速度为v0=2πR1/T
那么需做功至少W=0.5m(v^2-v0^2)=2mπ^2 /R1 *(R2^3 /T2^2-R1^3 /T^2)
答案为W=2mπ^2 /R1 *(R2^3 /T2^2-R1^3 /T^2)