Question

已知函数f(X)满足：对任意x,y都有f（x+y）=f（x）*f（y）-f（x）-F(y)+2成立，且x>0时f（x）>2.

（1）求f（0）的值，并证明当x<0时1<f（x）<2.
（2）判断f（x）的单调性并加以证明。
（3）若函数g（x）=|f（x）+k|在（负无穷大，0）上递减，求实数k的取值范围。

Answer 1

1、令f(0)=t, f(y)=t*f(y)-t-f(y)+2, (2-t)*(f(y)-1)=0;
对于y>0,f(y)>2, 所以t=2;
令y=-x, x>0, 则2=f(x)*f(-x)-f(x)-f(-x)+2, f(-x)=f(x)/(f(x)-1)=1+1/(f(x)-1)>1, f(x)-1>1,所以f(-x)<2
2、令y>0, f(x+y)-f(x)=(f(y)-2)*(f(x)-1),
f(y)>2, f(x)>1,所以f(x+y)>f(x),所以f递增
3、f(x)+k<0. 由f的连续性，可得f(x)可以无限趋近于f(0)=2, 所以k<=-2.