Question

已知定义在R上的f(x)为奇函数，有f(x-4)=-f(x)，求周期

因为-f(x)=f(-x)所以f(x)=-f(x-4) 设x-4为T则-f(T)=f(-T)所以f(x)=f(-x+4) 设x=x+2所以f(x+2)=f(x-2)所以周期等于2+2=4 请问我错在哪里？求解！加分！
f(x+a)=f(x-b) 的周期不是等于a+b吗？那f(x+2)=f(x-2)的周期不就是等于4吗

Answer 1

错误之处：设x=x+2所以f(x+2)=f(x-2)
应该为：f(x+2)=f[-(x+2)+4]=f(-x+2)
解：由f(x-4)=-f(x)，得：f(x) =-f(x-4)，
所以：f(x+8)=-f(x+8-4)=-f(x+4)=-[-f(x+4-4)]=f(x)
所以，可得，周期为：8.

Answer 2

x=x+2
f(x)=f(-x+4)变为 f(x+2)=f(-x+2)而不是f(x+2)=f(x-2)
所以f(x)关于x=2对称
f(x-4)=-f(x)，
令x=x+4 f(x)=-f(x+4)
所以
f(x-4)=f(x+4)
周期等于=8

Answer 3

f(x)=-f(x-4)中的f(x-4)前面有负号所以虽然f(x+2)=f(x-2)的周期为4但f(x+2)=-f(x-2)周期却为8

Answer 4

所以f(x+2)=f(x-2)这里应该是f(x+2)=f(-x-2)你掉了个负号

Answer 5

f(x-4)=-f(x)=f(-x) f(x)=f(4-x)
设周期为T
f(x+T)=f(-x-T+4）=-f(x+T-4）=f(x+T-8)=f(x)
即T=8