Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4,AD=3,AA1=2,EF分别是棱AB，BC上的点，且EB=FB=1，(1)求异面直线EC1与

FD1，所成角的余弦值？(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G，使DG垂直平面D1EF

Answer 1

以A为原点 AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0），D1（0，3，2），E（3，0，0），F（4，1，0），C1（4，3，2）

EC1=（1，3，2），FD1=（-4，2，2）

设EC1与FD1所成角为β，

则cosβ= ( EC1 * FD1 ) / ( | EC1 | * | FD1 | ) = [ 1×(-4)+3×2+2×2 ] / { [ √ ( 1+1+4 ) ] × [ √ ( 0+0+4)  ] } = ( √ 21 ) / 14

Answer 2

过点C做直线DE的垂线CF，连接C1F，LC1FC即为C-DE-C1的二面角。连接CE，在三角形DCE中，根据余弦定理，得COSLDEC=（DE2+EC2-DC2)/2DE.EC=(18+10-16)/2.根号18.根号10=根号5/5,所以在直角三角形C1CF中，TanLC1FC=2根号5